柔性臂因其質(zhì)量輕、結(jié)構(gòu)設(shè)計(jì)緊湊等優(yōu)點(diǎn)被廣泛應(yīng)用在航天器、柔性機(jī)器人等領(lǐng)域，但是，其末端在運(yùn)行過程中易產(chǎn)生抖動(dòng)，嚴(yán)重影響其工作效率和定位精度，甚至危害整個(gè)系統(tǒng)的安全。國內(nèi)外研究人員針對(duì)柔性臂的振動(dòng)抑制問題，提出了PID控制、模糊控制、自適應(yīng)控制、滑模變結(jié)構(gòu)控制、最優(yōu)控制等控制方法，對(duì)柔性臂振動(dòng)抑制的反饋控制方法進(jìn)行了探討。輸入整形技術(shù)由Singer和Seering首次提出，被廣泛應(yīng)用于柔性結(jié)構(gòu)的振動(dòng)抑制，該方法屬于前饋控制方法，也是一種獨(dú)特的振動(dòng)抑制方法。Youmin等將輸入整形技術(shù)應(yīng)用于橋式起重機(jī)，抑制抖動(dòng)的同時(shí)也提高了起重機(jī)的運(yùn)輸效率；Alsaibie等應(yīng)用輸入整形抑制了液體在運(yùn)輸過程中的晃動(dòng)；Dhanda等對(duì)輸入整形器進(jìn)行改進(jìn)，設(shè)計(jì)最優(yōu)輸入整形器有效抑制了起重機(jī)的殘留振動(dòng)；Pradhan等將輸入整形與自適應(yīng)控制結(jié)合來控制擺動(dòng)負(fù)載的左右晃動(dòng)。但是輸入整形技術(shù)在抑制柔性系統(tǒng)振動(dòng)的同時(shí)會(huì)導(dǎo)致系統(tǒng)響應(yīng)時(shí)間延遲，嚴(yán)重降低系統(tǒng)的工作效率。

本文針對(duì)輸入整形技術(shù)引起的響應(yīng)時(shí)間延遲問題，基于最優(yōu)控制理論設(shè)計(jì)最優(yōu)輸入整形器以減小系統(tǒng)的響應(yīng)時(shí)間，并將最優(yōu)輸入整形器與模糊PID控制器結(jié)合進(jìn)行柔性臂的振動(dòng)抑制。

柔性臂動(dòng)力學(xué)模型

繞伺服電機(jī)轉(zhuǎn)軸旋轉(zhuǎn)運(yùn)動(dòng)的柔性臂機(jī)械結(jié)構(gòu)和物理模型如圖1所示。圖1(a)中，伺服電機(jī)轉(zhuǎn)軸與轉(zhuǎn)盤連接，柔性臂的一端通過轉(zhuǎn)盤夾頭連接在電機(jī)轉(zhuǎn)軸上，質(zhì)量塊附于另一端，基座用于固定整個(gè)實(shí)驗(yàn)平臺(tái)。

圖1(b)中，設(shè)以電機(jī)轉(zhuǎn)軸中心O為原點(diǎn)建立慣性系XOY和體坐標(biāo)系xOy，柔性臂的彈性模量為E，橫截面對(duì)中性軸的慣性矩為I，密度為，截面面積為A，長度為l，末端質(zhì)量塊質(zhì)量為ml，伺服電機(jī)轉(zhuǎn)軸、轉(zhuǎn)盤的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量之和為J0，柔性臂運(yùn)動(dòng)所對(duì)應(yīng)剛體轉(zhuǎn)角為θ(t)，轉(zhuǎn)軸輸入控制力矩為u(t)。

圖1柔性臂機(jī)械結(jié)構(gòu)與物理模型

假設(shè)柔性臂橫向振動(dòng)遠(yuǎn)大于軸向振動(dòng)且橫向振動(dòng)較小，根據(jù)振動(dòng)力學(xué)原理，柔性臂可視為Euler-Bernoulli梁。設(shè)P(X,Y)為時(shí)刻t的柔性臂上任意一點(diǎn)的坐標(biāo)，w(x,t)為P點(diǎn)在坐標(biāo)系xOy下的橫向彈性振動(dòng)位移，根據(jù)Euler-Bernoulli梁的振動(dòng)理論，均勻材料等截面柔性臂的彎曲自由振動(dòng)微分方程為

                     (1)

由假設(shè)模態(tài)法，設(shè)

                    (2)

式中，Wi(x)為柔性臂在x處的振型函數(shù)或模態(tài)函數(shù)，qi(t)是相應(yīng)振型的幅值，稱為模態(tài)坐標(biāo)。

定義，根據(jù)柔性臂的四個(gè)邊界條件

圖9柔性臂振動(dòng)抑制的實(shí)驗(yàn)平臺(tái)