摘要：CRC（Cyclic Redundancy Check）被廣泛用于數(shù)據(jù)通信過程中的差錯(cuò)檢測(cè)，具有很強(qiáng)的檢錯(cuò)能力。本文詳細(xì)介紹了CRC的基本原理，并且按照解釋通行的查表算法的由來的思路介紹了各種具體的實(shí)現(xiàn)方法。 1.差錯(cuò)檢測(cè) 數(shù)據(jù)通信中，接收端需要檢測(cè)在傳輸過程中是否發(fā)生差錯(cuò)，常用的技術(shù)有奇偶校驗(yàn)（Parity Check），校驗(yàn)和（Checksum）和CRC（Cyclic Redundancy Check）。它們都是發(fā)送端對(duì)消息按照某種算法計(jì)算出校驗(yàn)碼，然后將校驗(yàn)碼和消息一起發(fā)送到接收端。接收端對(duì)接收到的消息按照相同算法得出校驗(yàn)碼，再與接收到的校驗(yàn)碼比較，以判斷接收到消息是否正確。 奇偶校驗(yàn)只需要1位校驗(yàn)碼，其計(jì)算方法也很簡(jiǎn)單。以奇檢驗(yàn)為例，發(fā)送端只需要對(duì)所有消息位進(jìn)行異或運(yùn)算，得出的值如果是0，則校驗(yàn)碼為1，否則為0。接收端可以對(duì)消息進(jìn)行相同計(jì)算，然后比較校驗(yàn)碼。也可以對(duì)消息連同校驗(yàn)碼一起計(jì)算，若值是0則有差錯(cuò)，否則校驗(yàn)通過。通常說奇偶校驗(yàn)可以檢測(cè)出1位差錯(cuò)，實(shí)際上它可以檢測(cè)出任何奇數(shù)位差錯(cuò)。 校驗(yàn)和的思想也很簡(jiǎn)單，將傳輸?shù)南?dāng)成8位（或16/32位）整數(shù)的序列，將這些整數(shù)加起來而得出校驗(yàn)碼，該校驗(yàn)碼也叫校驗(yàn)和。校驗(yàn)和被用在IP協(xié)議中，按照16位整數(shù)運(yùn)算，而且其MSB（Most Significant Bit）的進(jìn)位被加到結(jié)果中。 顯然，奇偶校驗(yàn)和校驗(yàn)和都有明顯的不足。奇偶校驗(yàn)不能檢測(cè)出偶數(shù)位差錯(cuò)。對(duì)于校驗(yàn)和，如果整數(shù)序列中有兩個(gè)整數(shù)出錯(cuò)，一個(gè)增加了一定的值，另一個(gè)減小了相同的值，這種差錯(cuò)就檢測(cè)不出來。 2.CRC算法的基本原理 CRC算法的是以GF（2）（2元素伽羅瓦域）多項(xiàng)式算術(shù)為數(shù)學(xué)基礎(chǔ)的，聽起來很恐怖，但實(shí)際上它的主要特點(diǎn)和運(yùn)算規(guī)則是很好理解的。 GF（2）多項(xiàng)式中只有一個(gè)變量x，其系數(shù)也只有0和1，如： 1＊x︿7 + 0＊x︿6 + 1＊x︿5 + 0＊x︿4 + 0＊x︿3 + 1＊x︿2 +1＊x︿1 + 1＊x︿0 即： x︿7 + x︿5 + x︿2 + x + 1 （x︿n表示x的n次冪） GF（2）多項(xiàng)式中的加減用模2算術(shù)執(zhí)行對(duì)應(yīng)項(xiàng)上系數(shù)的加減，模2就是加減時(shí)不考慮進(jìn)位和借位， 即： 0 + 0 = 0 0 - 0 = 0 0 + 1 = 1 0 - 1 = 1 1 + 0 = 1 1 - 0 = 1 1 + 1 = 0 1 - 1 = 0 顯然，加和減是一樣的效果（故在GF（2）多項(xiàng)式中一般不出現(xiàn)"-"號(hào)），都等同于異或運(yùn)算。例 如P1 = x︿3 + x︿2 + 1，P2 = x︿3 + x︿1 + 1，P1 + P2為： x︿3 + x︿2 　　+ 1 + x︿3 + x + 1 —————————————————— x︿2 + x GF（2）多項(xiàng)式乘法和一般多項(xiàng)式乘法基本一樣，只是在各項(xiàng)相加的時(shí)候按模2算術(shù)進(jìn)行，例如 P1 ＊ P2為： （x︿3 + x︿2 + 1）（x︿3 + x︿1 + 1） = （x︿6 + x︿4 + x︿3 + x︿5 + x︿3 + x︿2 + x︿3 + x + 1） = x︿6 + x︿5 + x︿4 + x︿3 + x︿2 + x + 1 GF（2）多項(xiàng)式除法也和一般多項(xiàng)式除法基本一樣，只是在各項(xiàng)相減的時(shí)候按模2算術(shù)進(jìn)行，例 如P3 = x︿7 + x︿6 + x︿5 + x︿2 + x，P3 / P2為： x︿4 + x︿3 + 1 —————————————————————————————————————————— x︿3 + x + 1 ）x︿7 + x︿6 + x︿5 + x︿2 + x x︿7 + x︿5 + x︿4 ————————————————————- x︿6 + x︿4 x︿6 + x︿4 + x︿3 ————————————————————- x︿3 + x︿2 + x x︿3 + x + 1 ————————————————- x︿2 + 1 CRC算法將長(zhǎng)度為m位的消息對(duì)應(yīng)一個(gè)GF（2）多項(xiàng)式M，比如對(duì)于8位消息11100110，如果先傳輸MSB，則它對(duì)應(yīng)的多項(xiàng)式為x︿7 + x︿6 + x︿5 + x︿2 + x。發(fā)送端和接收端約定一個(gè)次數(shù)為r的GF（2）多項(xiàng)式G，稱為生成多項(xiàng)式，比如x︿3 + x + 1，r = 3。在消息后面加上r個(gè)0對(duì)應(yīng)的多項(xiàng)式為M’，顯然有M’ = Mx︿r。用M’除以G將得到一個(gè)次數(shù)等于或小于r - 1的余數(shù)多項(xiàng)式R，其對(duì)應(yīng)的r位數(shù)值則為校驗(yàn)碼。如下所示： 11001100 ————————————- 1011 ）11100110000 1011....... ————....... 1010...... 1011...... ————...... 1110... 1011... ————... 1010.. 1011.. ———— 100 <——-校驗(yàn)碼 發(fā)送端將m位消息連同r位校驗(yàn)碼（也就是M’ + R）一起發(fā)送出去，接收端按同樣的方法算出收到的m位消息的校驗(yàn)碼，再與收到的校驗(yàn)碼比較。接收端也可以用收到的全部m + r位除以生成多項(xiàng)式，再判斷余數(shù)是否為0。這是因?yàn)�，M’ + R = （QG + R） + R = QG，這里Q是商。顯然，它也可以像發(fā)送端一樣，在全部m + r后再增加r個(gè)0，再除以生成多項(xiàng)式，如果沒有差錯(cuò)發(fā)生，余數(shù)仍然為0。 3.生成多項(xiàng)式的選擇 很明顯，不同的生成多項(xiàng)式，其檢錯(cuò)能力是不同的。如何選擇一個(gè)好的生成多項(xiàng)式需要一定的數(shù)學(xué)理論，這里只從一些側(cè)面作些分析。顯然，要使用r位校驗(yàn)碼，生成多項(xiàng)式的次數(shù)應(yīng)為r。生成多項(xiàng)式應(yīng)該包含項(xiàng)"1"，否則校驗(yàn)碼的LSB（Least Significant Bit）將始終為0。如果消息（包括校驗(yàn)碼）T在傳輸過程中產(chǎn)生了差錯(cuò)，則接收端收到的消息可以表示為T + E。若E不能被生成多項(xiàng)式G除盡，則該差錯(cuò)可以被檢測(cè)出。考慮以下幾種情況： 1）1位差錯(cuò)，即E = x︿n = 100...00，n >= 0。只要G至少有2位1，E就不能被G除盡。這 是因?yàn)镚x︿k相當(dāng)于將G左移k位，對(duì)任意多項(xiàng)式Q，QG相當(dāng)于將多個(gè)不同的G的左移相加。 如果G至少有兩位1，它的多個(gè)不同的左移相加結(jié)果至少有兩位1。 2）奇數(shù)位差錯(cuò)，只要G含有因子F = x + 1，E就不能被G除盡。這是因?yàn)镼G = Q’F，由1） 的分析，F(xiàn)的多個(gè)不同的左移相加結(jié)果1的位數(shù)必然是偶數(shù)。 3）爆炸性差錯(cuò)，即E = （x︿n + ... + 1）x︿m = 1...100...00，n >= 1，m >= 0，顯然只 要G包含項(xiàng)"1"，且次數(shù)大于n，就不能除盡E。 4）2位差錯(cuò)，即E = （x︿n + 1）x︿m = 100...00100...00，n >= 0。設(shè)x︿n + 1 = QG + R， 則E = QGx︿m + Rx︿m，由3）可知E能被G除盡當(dāng)且僅當(dāng)R為0。因此只需分析x︿n + 1，根據(jù)[3]，對(duì)于次數(shù)r，總存在一個(gè)生成多項(xiàng)式G，使得n最小為2︿r - 1時(shí)，才能除盡x︿n + 1。稱該生成多項(xiàng)式是原始的（primitive），它提供了在該次數(shù)上檢測(cè)2位差錯(cuò)的最高能力，因?yàn)楫?dāng)n = 2︿r - 1時(shí)，x︿n + 1能被任何r次多項(xiàng)式除盡。[3]同時(shí)指出，原始生成多項(xiàng)式是不可約分的，但不可約分的的多項(xiàng)式并不一定是原始的，因此對(duì)于某些奇數(shù)位差錯(cuò)，原始生成多項(xiàng)式是檢測(cè)不出來的。 以下是一些標(biāo)準(zhǔn)的CRC算法的生成多項(xiàng)式： 標(biāo)準(zhǔn) 多項(xiàng)式 16進(jìn)制表示 CRC12 x︿12 + x︿11 + x︿3 + x︿2 + x + 1 80F CRC16 x︿16 + x︿15 + x︿2 + 1 8005 CRC16-CCITT x︿16 + x︿12 + x︿5 + 1 1021 CRC32 x︿32 + x︿26 + x︿23 + x︿22 + x︿16 + x︿12 + x︿11 04C11DB7 + x︿10 + x︿8 + x︿7 + x︿5 + x︿4 + x︿2 + x + 1 16進(jìn)制表示去掉了最高次項(xiàng)，CCITT在1993年改名為ITU-T。CRC12用于6位字節(jié)，其它用于8位字節(jié)。CRC16在IBM的BISYNCH通信標(biāo)準(zhǔn)。CRC16-CCITT被廣泛用于XMODEM, X.25和SDLC等通信協(xié)議。而以太網(wǎng)和FDDI則使用CRC32，它也被用在ZIP，RAR等文件壓縮中。在這些生成多項(xiàng)式中，CRC32是原始的，而其它3個(gè)都含有因子x + 1。 4.CRC算法的實(shí)現(xiàn) ——————————————- 要用程序?qū)崿F(xiàn)CRC算法，考慮對(duì)第2節(jié)的長(zhǎng)除法做一下變換，依然是M = 11100110，G = 1011，其系數(shù)r為3。 11001100 11100110000 ————————————- 1011 1011 ）11100110000 ——————————- 1011....... 1010110000 ————....... 1010110000 1010...... 1011 1011...... ===> ——————————- ————...... 001110000 1110... 1110000 1011... 1011 ————... ——————————- 1010.. 101000 1011.. 101000 ———— 1011 100 <——-校驗(yàn)碼 ——————————- 00100 100 <——-校驗(yàn)碼 程序可以如下實(shí)現(xiàn)： 1）將Mx︿r的前r位放入一個(gè)長(zhǎng)度為r的寄存器； 2）如果寄存器的首位為1，將寄存器左移1位（將Mx︿r剩下部分的MSB移入寄存器的LSB），再與G的后r位異或，否則僅將寄存器左移1位（將Mx︿r剩下部分的MSB移入寄存器的LSB）； 3）重復(fù)第2步，直到M全部Mx︿r移入寄存器； 4）寄存器中的值則為校驗(yàn)碼。 用CRC16-CCITT的生成多項(xiàng)式0x1021，其C代碼（本文所有代碼假定系統(tǒng)為32位，且都在VC6上編譯通過）如下： unsigned short do_crc（unsigned char ＊message, unsigned int len） ｛ int i, j; unsigned short crc_reg; crc_reg = （message[0] << 8） + message[1]; for （i = 0; i < len; i++） ｛ if （i < len - 2） for （j = 0; j <= 7; j++） ｛ if （（short）crc_reg < 0） crc_reg = （（crc_reg << 1） + （message[i + 2] >> （7 - i））） ︿ 0x1021; else crc_reg = （crc_reg << 1） + （message[i + 2] >> （7 - i））; ｝ else for （j = 0; j <= 7; j++） ｛ if （（short）crc_reg < 0） crc_reg = （crc_reg << 1） ︿ 0x1021; else crc_reg <<= 1; ｝ ｝ return crc_reg; ｝ 顯然，每次內(nèi)循環(huán)的行為取決于寄存器首位。由于異或運(yùn)算滿足交換率和結(jié)合律，以及與0異 或無影響，消息可以不移入寄存器，而在每次內(nèi)循環(huán)的時(shí)候，寄存器首位再與對(duì)應(yīng)的消息位異或。改進(jìn)的代碼如下： unsigned short do_crc（unsigned char ＊message, unsigned int len） ｛ int i, j; unsigned short crc_reg = 0; unsigned short current; for （i = 0; i < len; i++） ｛ current = message[i] << 8; for （j = 0; j < 8; j++） ｛ if （（short）（crc_reg ︿ current） < 0） crc_reg = （crc_reg << 1） ︿ 0x1021; else crc_reg <<= 1; current <<= 1; ｝ ｝ return crc_reg; ｝ 以上的討論中，消息的每個(gè)字節(jié)都是先傳輸MSB，CRC16-CCITT標(biāo)準(zhǔn)卻是按照先傳輸LSB，消息右移進(jìn)寄存器來計(jì)算的。只需將代碼改成判斷寄存器的LSB，將0x1021按位顛倒后（0x8408）與寄存器異或即可，如下所示： unsigned short do_crc（unsigned char ＊message, unsigned int len） ｛ int i, j; unsigned short crc_reg = 0; unsigned short current; for （i = 0; i < len; i++） ｛ current = message[i]; for （j = 0; j < 8; j++） ｛ if （（crc_reg ︿ current） & 0x0001） crc_reg = （crc_reg >> 1） ︿ 0x8408; else crc_reg >>= 1; current >>= 1; ｝ ｝ return crc_reg; ｝ 該算法使用了兩層循環(huán)，對(duì)消息逐位進(jìn)行處理，這樣效率是很低的。為了提高時(shí)間效率，通常的思想是以空間換時(shí)間。考慮到內(nèi)循環(huán)只與當(dāng)前的消息字節(jié)和crc_reg的低字節(jié)有關(guān)，對(duì)該算法做以下等效轉(zhuǎn)換： unsigned short do_crc（unsigned char ＊message, unsigned int len） ｛ int i, j; unsigned short crc_reg = 0; unsigned char index; unsigned short to_xor; for （i = 0; i < len; i++） ｛ index = （crc_reg ︿ message[i]） & 0xff; to_xor = index; for （j = 0; j < 8; j++） ｛ if （to_xor & 0x0001） to_xor = （to_xor >> 1） ︿ 0x8408; else to_xor >>= 1; ｝ crc_reg = （crc_reg >> 8） ︿ to_xor; ｝ return crc_reg; ｝ 現(xiàn)在內(nèi)循環(huán)只與index相關(guān)了，可以事先以數(shù)組形式生成一個(gè)表crc16_ccitt_table，使得to_xor = crc16_ccitt_table[index]，于是可以簡(jiǎn)化為： unsigned short do_crc（unsigned char ＊message, unsigned int len） ｛ unsigned short crc_reg = 0; while （len——） crc_reg = （crc_reg >> 8） ︿ crc16_ccitt_table[（crc_reg ︿ ＊message++） & 0xff]; return crc_reg; ｝ crc16_ccitt_table通過以下代碼生成： int main（） ｛ unsigned char index = 0; unsigned short to_xor; int i; printf（"unsigned short crc16_ccitt_table[256] =\n｛"）; while （1） ｛ if （!（index % 8）） printf（"\n"）; to_xor = index; for （i = 0; i < 8; i++） ｛ if （to_xor & 0x0001） to_xor = （to_xor >> 1） ︿ 0x8408; else to_xor >>= 1; ｝ printf（"0x%04x", to_xor）; if （index == 255） ｛ printf（"\n"）; break; ｝ else ｛ printf（", "）; index++; ｝ ｝ printf（"｝;"）; return 0; ｝ 生成的表如下： unsigned short crc16_ccitt_table[256] = ｛ 0x0000, 0x1189, 0x2312, 0x329b, 0x4624, 0x57ad, 0x6536, 0x74bf, 0x8c48, 0x9dc1, 0xaf5a, 0xbed3, 0xca6c, 0xdbe5, 0xe97e, 0xf8f7, 0x1081, 0x0108, 0x3393, 0x221a, 0x56a5, 0x472c, 0x75b7, 0x643e, 0x9cc9, 0x8d40, 0xbfdb, 0xae52, 0xdaed, 0xcb64, 0xf9ff, 0xe876, 0x2102, 0x308b, 0x0210, 0x1399, 0x6726, 0x76af, 0x4434, 0x55bd, 0xad4a, 0xbcc3, 0x8e58, 0x9fd1, 0xeb6e, 0xfae7, 0xc87c, 0xd9f5, 0x3183, 0x200a, 0x1291, 0x0318, 0x77a7, 0x662e, 0x54b5, 0x453c, 0xbdcb, 0xac42, 0x9ed9, 0x8f50, 0xfbef, 0xea66, 0xd8fd, 0xc974, 0x4204, 0x538d, 0x6116, 0x709f, 0x0420, 0x15a9, 0x2732, 0x36bb, 0xce4c, 0xdfc5, 0xed5e, 0xfcd7, 0x8868, 0x99e1, 0xab7a, 0xbaf3, 0x5285, 0x430c, 0x7197, 0x601e, 0x14a1, 0x0528, 0x37b3, 0x263a, 0xdecd, 0xcf44, 0xfddf, 0xec56, 0x98e9, 0x8960, 0xbbfb, 0xaa72, 0x6306, 0x728f, 0x4014, 0x519d, 0x2522, 0x34ab, 0x0630, 0x17b9, 0xef4e, 0xfec7, 0xcc5c, 0xddd5, 0xa96a, 0xb8e3, 0x8a78, 0x9bf1, 0x7387, 0x620e, 0x5095, 0x411c, 0x35a3, 0x242a, 0x16b1, 0x0738, 0xffcf, 0xee46, 0xdcdd, 0xcd54, 0xb9eb, 0xa862, 0x9af9, 0x8b70, 0x8408, 0x9581, 0xa71a, 0xb693, 0xc22c, 0xd3a5, 0xe13e, 0xf0b7, 0x0840, 0x19c9, 0x2b52, 0x3adb, 0x4e64, 0x5fed, 0x6d76, 0x7cff, 0x9489, 0x8500, 0xb79b, 0xa612, 0xd2ad, 0xc324, 0xf1bf, 0xe036, 0x18c1, 0x0948, 0x3bd3, 0x2a5a, 0x5ee5, 0x4f6c, 0x7df7, 0x6c7e, 0xa50a, 0xb483, 0x8618, 0x9791, 0xe32e, 0xf2a7, 0xc03c, 0xd1b5, 0x2942, 0x38cb, 0x0a50, 0x1bd9, 0x6f66, 0x7eef, 0x4c74, 0x5dfd, 0xb58b, 0xa402, 0x9699, 0x8710, 0xf3af, 0xe226, 0xd0bd, 0xc134, 0x39c3, 0x284a, 0x1ad1, 0x0b58, 0x7fe7, 0x6e6e, 0x5cf5, 0x4d7c, 0xc60c, 0xd785, 0xe51e, 0xf497, 0x8028, 0x91a1, 0xa33a, 0xb2b3, 0x4a44, 0x5bcd, 0x6956, 0x78df, 0x0c60, 0x1de9, 0x2f72, 0x3efb, 0xd68d, 0xc704, 0xf59f, 0xe416, 0x90a9, 0x8120, 0xb3bb, 0xa232, 0x5ac5, 0x4b4c, 0x79d7, 0x685e, 0x1ce1, 0x0d68, 0x3ff3, 0x2e7a, 0xe70e, 0xf687, 0xc41c, 0xd595, 0xa12a, 0xb0a3, 0x8238, 0x93b1, 0x6b46, 0x7acf, 0x4854, 0x59dd, 0x2d62, 0x3ceb, 0x0e70, 0x1ff9, 0xf78f, 0xe606, 0xd49d, 0xc514, 0xb1ab, 0xa022, 0x92b9, 0x8330, 0x7bc7, 0x6a4e, 0x58d5, 0x495c, 0x3de3, 0x2c6a, 0x1ef1, 0x0f78 ｝; 這樣對(duì)于消息unsigned char message[len]，校驗(yàn)碼為： unsigned short code = do_crc（message, len）; 并且按以下方式發(fā)送出去： message[len] = code & 0x00ff; message[len + 1] = （code >> 8） & 0x00ff; 接收端對(duì)收到的len + 2字節(jié)執(zhí)行do_crc，如果沒有差錯(cuò)發(fā)生則結(jié)果應(yīng)為0。 在一些傳輸協(xié)議中，發(fā)送端并不指出消息長(zhǎng)度，而是采用結(jié)束標(biāo)志，考慮以下幾種差錯(cuò)： 1）在消息之前，增加1個(gè)或多個(gè)0字節(jié)； 2）消息以1個(gè)或多個(gè)連續(xù)的0字節(jié)開始，丟掉1個(gè)或多個(gè)0； 3）在消息（包括校驗(yàn)碼）之后，增加1個(gè)或多個(gè)0字節(jié)； 4）消息（包括校驗(yàn)碼）以1個(gè)或多個(gè)連續(xù)的0字節(jié)結(jié)尾，丟掉1個(gè)或多個(gè)0； 顯然，這幾種差錯(cuò)都檢測(cè)不出來，其原因就是如果寄存器值為0，處理0消息字節(jié)（或位），寄存器值不變。為了解決前2個(gè)問題，只需寄存器的初值非0即可，對(duì)do_crc作以下改進(jìn)： unsigned short do_crc（unsigned short reg_init, unsigned char ＊message, unsigned int len） ｛ unsigned short crc_reg = reg_init; while （len——） crc_reg = （crc_reg >> 8） ︿ crc16_ccitt_table[（crc_reg ︿ ＊message++） & 0xff]; return crc_reg; ｝ 在CRC16-CCITT標(biāo)準(zhǔn)中reg_init = 0xffff，為了解決后2個(gè)問題，在CRC16-CCITT標(biāo)準(zhǔn)中將計(jì)算出的校驗(yàn)碼與0xffff進(jìn)行異或，即： unsigned short code = do_crc（0xffff, message, len）; code ︿= 0xffff; message[len] = code & 0x00ff; message[len + 1] = （code >> 8） & 0x00ff; 顯然，現(xiàn)在接收端對(duì)收到的所有字節(jié)執(zhí)行do_crc，如果沒有差錯(cuò)發(fā)生則結(jié)果應(yīng)為某一常值GOOD_CRC。其滿足以下關(guān)系： unsigned char p[]= ｛0xff, 0xff｝; GOOD_CRC = do_crc（0, p, 2）; 其結(jié)果為GOOD_CRC = 0xf0b8。 參考文獻(xiàn) ———————— [1] Ross N. Williams，"A PAINLESS GUIDE TO CRC ERROR DETECTION ALGORITHMS"，Version 3， http://www.ross.net/crc/crcpaper.html，August 1993 [2] Simpson, W., Editor, "PPP in HDLC Framing"，RFC 1549, December 1993 [3] P. E. Boudreau，W. C. Bergman and D. R. lrvin，"Performance of a cyclic redundancy check and its interaction with a data scrambler"，IBM J. RES. DEVELOP.，VOL.38 NO.6，November 1994